Einführung in die Mathematik [Lecture notes] by Tammo tom Dieck PDF

By Tammo tom Dieck

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Eine unendliche Reihe konvergiert genau dann, wenn zu jedem ε > 0 ein N existiert, so daß f¨ ur m > n ≥ N immer die Ungleichung |an+1 + · · · + am | < ε besteht. 22) Majorantenkriterium Seien (an ) und (bn ) Folgen und gelte immer |bn | ≤ an . Dann heißt die Reihe aj eine Majorante der Reihe bj . Konvergiert aj so auch bj . Beweis. Wegen der Dreiecksungleichung und der Voraussetzung gilt m | m bj | ≤ j=n+1 m |bj | ≤ j=n+1 aj . 21) an. 23) Quotientenkriterium. Sei 0 ≤ q < 1. F¨ ur fast alle n sei an = 0 und gelte an+1 ≤ q.

2. Die Haupts¨ atze Der n¨achste Zwischenwertsatz pr¨azisiert, was mit macht keine Spr¨ unge“‘ gemeint ist. 7) Zwischenwertsatz. Sei f : [a, b] → R stetig. Dann nimmt f jeden Wert zwischen f (a) und f (b) an, das heißt ist etwa f (a) ≤ c ≤ f (b), so gibt es ein x ∈ [a, b], dessen Funktionswert f (x) = c ist. ✷ Ist insbesondere f (a) < 0 und f (b) > 0, so gibt es zwischen a und b eine Nullstelle von f . Es ist leicht, eine Funktion auf einem Intervall anzugeben, die einen Wert u ¨berspringt; sie ist dann nicht stetig.

Man wende den Satz von Rolle auf die Funktion F (x) = (f (x) − f (a))(g(b) − g(a)) − (g(x) − g(a))(f (b) − f (a)) an. Die zweite Behauptung folgt, weil g streng monoton ist. 9. 31) Satz. Seien f, g: [a, b] → R differenzierbar, sei f (a) = g(a) = 0 und g (x) = 0 auf ]a, b[ . Existiert dann lim x→a f (x) , g (x) so auch lim x→a f (x) , g(x) und beide sind gleich. 32) Satz. Seien f, g auf [b, ∞[ differenzierbar, sei g = 0 und gelte limx→∞ f (x) = limx→∞ g(x) = 0. Dann gilt lim x→∞ f (x) f (x) = lim , x→∞ g(x) g (x) falls der rechte Grenzwert existiert.

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by Ronald
4.3

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